Актуальные экологические и экономически игры.

Юрьева А.А. Фишер В.В.

Задача 1. Сельскохозяйственное предприятие  имеет три участка земли: влажный А₁, средней влажности А₂ и сухой А₃. Один  из этих участков предполагается использовать для выращивания картофеля, а остальные- для посева зеленой массы. Известно, что для получения хорошего урожая картофеля требуется определенное количество влаги в почве в период вегетации. При излишней влажности посаженный картофель на некоторых участках может гнить, а при недостаточном количестве осадков будет плохо развиваться , что приведет к снижению урожайности. Требуется определить, на каком участке сеять картофель, чтобы получить хороший урожай его, если известна средняя урожайность картофеля на каждом участке в зависимости от погодных условий. На участке А₁ урожайность составляет 200, 100 и 250 ц. с 1га при выпадении соответственно: нормального количества осадков, больше и меньше нормы. Аналогично на участке А₂ – 230, 120 и 200 ц, а на участке А₃ -240, 260 и 100ц. Составить матрицу игры с погодой и найти оптимальную стратегию игры.

Решение. Известно, что у игрока А (это сельхозпредприятие)) по условию имеется три стратегии.

А₁- сеять картофель на влажном участке,

А₂- сеять картофель на участке средней влажности,

А₃- сеять картофель на сухом участке.

Обозначим через П₁, П₂, П₃ стратегии игрока П- погоды. Пусть П₁, П₂, П₃ соответствуют количеству осадков: меньше нормы, норма, больше нормы. Выигрыш сельхозпредприятия при каждой паре стратегий А_i и П_j задается урожайностью картофеля с 1 га следующей      матрицей:

Далее составим матрицу рисков r_ij  где  r_ij=.  Учитывая, что:                                          

b₁=max(250; 200; 100)=250,

=max(200; 230; 240)=240,

=max(100; 120; 260)=260/

Находим:

r₁₁==250-250=0; r₁₂=-a₁₂=40; r₁₃=160.

В итоге получим следующую матрицу рисков:

Следовательно  r= min r_i= min(160; 140; 150)=140 и этот минимум риска обеспечивает стратегия А₂, значит она является оптимальной стратегией игры.

До сих пор мы занимались матричными играми, т.е. такими, для которых местоположение элемента  в платежной матрице  зависит от выбора игроками А и В своих стратегий  и  при  и . Другими словами  - платежная функция изменяющаяся дискретно с изменением i и j. Ее условились записывать короче так

Задача 2. (Охрана воздушного бассейна). В промышленном районе расположено n предприятий, каждое из которых имеет один источник, выбрасывающий в атмосферу вредную примесь. В районе имеется экологически значимая зона , уровень загрязнения которой не должен превышать  - значение ПДК (предельно допустимой концентрации). Усредненное значение концентрации вредной примеси в атмосфере при наличии п источников можно рассчитать по формуле:

где  - выброс одного из предприятий на множество , С_i – коэффициент рассеивания до зоны W.

Если будет , то возникает конфликт. Предположим, что каждое i-е предприятие может снижать свои эксплуатационные расходы посредством увеличения выброса x_i. Однако, если в зоне  уровень загрязнения превышает значение ПДК (т.е. ), то на предприятие накладывается штраф . Составить платежную функцию этой экологической игры.

Решение. Очевидно, искомая функция будет иметь вид:

Здесь функция  - непрерывная и возрастающая по аргументу

Задача 3. (Борьба за рынки сбыта). Две частные фирмы борются за

рынки сбыта в условиях конкуренции. Одна из фирм (игрок  A) пытается

вытеснить другую фирму (игрока В), имеющую два рынка сбыта, с одного из этих рынков. Первый рынок сбыта приносит доход игроку В  в размере k₁ у.е. на один рубль проданного товара, а второй рынок - в размере  k₂ у.е. на один рубль проданного товара. Каждая из фирм выделяет капитал S для проведения операции. Решить игру, т.е. найти оптимальные стратегии игроков.

Решение. Сначала составим математическую модель задачи:

Рынки фирмы В:             R₁ и  R₂

Доход от них :                 k₁ и k₂

Игрок А тратит на захват              x_р. и (S-х) руб       

Игрок  В тратит на сохранение    у_р и (S-у)  руб

Если х>у, то будет избыток (х-у) с доходом  k.у.е. для рынка  R₁.

Если  х<у, то будет избыток (S-х)-(S-у)=у-х с доходом  k₂ у.е., для рынка R₂.

Из этих рассуждений следует, что платежная функция игры имеет вид

Чтобы решить эту задачу, сначала заметим, что Н(х;у) для каждого рынка есть непрерывная функция и выпуклая, так как, линейная.

Далее, найдем оптимальные стратегии (х* и  у*) игроков и учитывая, что:

Отсюда следует, что  единственное   у*  будет, когда

k₁(1-y*)=k₂y*, то есть y*= .

Теперь имеем V= k₂y*=   – цена игры.

Далее  найдем существенные стратегии, игрока А.  Они должны  удовлетворять равенству:

Так как существенных, стратегий больше одной. то следовательно оптимальную стратегию игрока А надо искать в области смешанных стратегий. Учитывая, что у*< 1,  и  что

Будем иметь:

p₁k₂+p₂(-k₁)=0 Þ p₁k₂-(1-p₁)k₁=0 Þ p₁=;

Таким  образом, оптимальная  стратегия  игрока  А- есть  смесь   двух существенных его стратегий x₁=1  и  x₂=0  с  вероятностями, соответственно p₂ и p_1. Другими словами, оптимальная стратегия игрока состоит в концентрации всех средств на одном из рынков - самом выгодном (R₁). Это и понятно, хороший рынок, хозяин хорошо защищает и борьба за него может разорить захватчика.

Задача 4. (Антагонистическая конкуренция). Фирма А производит некоторый сезонный товар, который имеет спрос в течение п единиц времени. Этот товар поступает на рынок в момент времени i, где i=1,2,…,n. Фирма В производит аналогичный товар который поступает на рынок в момент j, где j=1,2,…,n.

Пусть качество конкурирующих товаров зависит от времени их поступления на рынок относительно друг друга, т.е. чем позже товар выбрасывается на рынок, тем выше его качество и он лучше реализуется. Найти функцию выигрыша игры.

Решение. Будем рассуждать так. Если фирма А выбросит свой товар в момент времени i, а фирма В – в момент времени j>i, то фирма А не имея конкурента в течение (j-i) единиц времени получит за это время доход , где С – доход от продажи товара в единицу времени. В момент времени j на рынке появляется товар фирмы В, который имеет боле высокое качество. Поэтому с момента j фирма А теряет рынок и в дальнейшем дохода не получает. Если же i>j, то фирма А выбросив на рынок более качественный товар будет получать доход в течение отрезка времени   . Теперь доход фирмы А будет равен . В том случае, когда i=j, т.е. на рынок поступают оба товара одновременно, то естественно, что они имеют одинаковый спрос и потому фирма А получит доход, равный . Теперь, искомая функция выигрыша игрока А примет вид:

Прокомментируем эту функцию игры, заметив, что чем меньше i, т.е.чем раньше фирма А выбросила свой товар на рынок, тем больше ее доход при большом j, т.е.при условии, что игрок В выбросит свой товар на рынок очень поздно. Но если будет j>i при малом j, то игрок В может разорить игрока А даже без злого умысла. А иногда и со злым умыслом. Если фирма В является дочерней фирмой некоторого концерна D, то не заботясь о своих собственных доходах, она продает тот же товар по пониженной цене. Ведь потом (после разорения фирмы А) она, опираясь на капитал концерна D, наверстает упущенное. Однако иногда имеются законы, запрещающие поступать подобным образом. В этом случае единственным законным инструментом этой фирмы является выбор момента поступления товара на рынок.