Экономические задачи, приводящие к понятию дележа

Хучраева Т.С., Фишер В.В.

Задача 1. (Задача джаз-оркестра). Директор клуба обещает 100 рублей вокалисту (В), пианисту (П) и ударнику (У) за вечер игры в его клубе. Выступление дуэта «В-П» он расценивает в 80 рублей, дуэта «У-П» - в 65рублей и одного пианиста- 30 рублей. Другие дуэты и солисты не рассматриваются, поскольку присутствие фортепиано владелец клуба считает обязательным.

Однако, дуэт «В-У» может выступить в соседнем кафе и заработать

там 50 рублей, а вокалист- 20 рублей. Выступление же одного ударника

нигде не оплачивается. Какое распределение максимального общего дохода -100 рублей, следует считать справедливым, учитывая описанные возможности?

Задача 2. (Рынок трех лиц — классическая модель).

Пусть продавец обладает единицей неделимого товара (например коровой), а два потенциальных покупателя хотят приобрести этот товар. Пусть продавец - «игрок I » оценивает этот товар в «а» денежных единиц, а покупатели- «игроки 2 и 3» -  b и с денежных единиц, соответственно. Каковы виды на прибыль всех игроков?

Задача 3. (Задача бригады рабочих).

 Бригада четырех рабочих совместно выполняет некоторую работу. Известно, что ту же работу могли бы выполнить первый рабочий с любым одним из остальных рабочих и все рабочие без первого. Какова справедливая доля каждого рабочего в общей плате за работу?

Есть много других типичных задач и все они в итоге сводятся к дележу прибыли, полученной кооперативом, между членами этого кооператива. Естественно, дележ  поровну  будет несправедливым. Таким образом, проблема оптимального и справедливого дележа - это основная проблема кооперативных игр. Анализируя одну за другой несколько кооперативных игр можно заключить, что на проблему дележа оказывает влияние некоторая, в каждом случае конкретная, числовая функция, характеризующая свою кооперативную игру.

Будем рассуждать так. Если есть бескоалиционная игра, в которой участвуют, скажем, 100 человек, и 40 из них объединились в коалицию с

единым доходом, то фактически в этой игре ничего не изменилось, разве

что теперь в ней участвуют уже не 100 лиц, а 61 (считаем создавшуюся коалицию с единым доходом за 1 лицо). Мы сказали  «ничего не изменилось», но может измениться, если оставшиеся 60 человек тоже создадут единую коалицию, да еще конкурирующую с первой.

Таким образом, игра из бескоалиционной стала антагонистической (из двух коалиций), а любая антагонистическая игра, как известно, имеет цену игры V. Естественно, эта цена игры будет зависеть от k - количества игроков в коалиции, т.е. V= V(k) - искомая числовая функция, характеризующая каждую игру. Ее называют характеристической  функцией и сокращенно обозначают двумя буквами: х.ф

Например, в задаче джаз-оркестра мы имели дело с игрой,  в которой

N=(1;2;3) - множество всех игроков (В;П;Y). Для них, на всевозможных коалициях будет х.ф.:

V(k₁=В)=20;  V(k₂=П)=30;   V(k₃=Y)=0; V(k_1,2,=B;П) = 80; 

V(k_1,3=B;Y)=50;  V(k_2,3,= П ;Y)=65; V(k_1,2,3=B;П,У) = 100.

В задаче о бригаде рабочих, полагая доход коалиции N = (1;2;3;4) равным  1, если они выполнят работу, и равным 0, если не выполнят,

будем иметь следующие значения  х.ф. на возможных коалициях:

V(k₁)=V(k₂)=V(k₃)=V(k₄)=V(k_2;3)=V(k_3;4)=V(k_2;4)=0

V(k_1,2)=V(k_1;3)=V(k_1;4)=V(k_1,2,3)=V(k_1,2,4)=V(k_1,3,4)=V(k_2,3,4)=V(k_1,2,3,4)=1

Надо сказать, что такие значения получила бы  х.ф. на соответствующих коалициях, если бы они действительно возникли. Но реально их возникновение не обязательно.  Смысл такого фиктивного рaзыгрывания в том, что в дальнейшем это поможет прийти к понятию оптимального справедливого дележа.

Содержательно дележ понимают, как определенную долю дохода, причитающуюся каждому игроку по договору от общего дохода кооператива.

Естественно, чтобы дележ был справедливым, он должен обладать следующими свойствам:

1).Любой член кооператива не должен получать за свою работу меньше того, что он получил бы, работая отдельно.

2).Члены кооператива должны делить между собой только ту сумму, которую заработал кооператив. В противном случае они делили бы сумму большую той, что заработали, или меньшую.

Аналитически дележ записывают в виде вектора Шепли Так в задаче о бригаде рабочих вектор Шепли имеет вид Ф=(1/2; 1/6; 1/6;1/6.). Он говорит о том, что первый рабочий должен получить половину всего дохода, а все остальные рабочие- по 1/6 части от всего дохода.

Задача 4. Рассматривается корпорация из четырех акционеров, имеющих акции, соответственно , в следующих размерах: а₁=10, а₂=20, а₃=30, а₄=40. Любое решение утверждается акционерами, имеющими в сумме большинство акций. Это решение считается выигрышем, равным 1. Поэтому данная ситуация может рассматриваться как простая игра четырех игроков, в которой выигрывающими коалициями являются следующие: (2; 4), (3;1), (1; 2; 3), (1; 2; 4), (2; 3; 4), (1; 3; 4), (1; 2; 3; 4).

Найти вектор Шепли для данной игры.

Решение. Согласно условию задачи, будем иметь следующие значения ее х.ф. :

V(k₁=a₁)=V(k₂=a₂)=V(k₃=a₃)=V(k₄=a₄)=0   , так как каждое из них не больше половины акций и поэтому невыигрышное. Далее:

V(k₂₃=a₂,a₃=50)=0; V(k_3,4=a₃,a₄=70)=1; V(k_2,4=60)=1;

V(k_1,2=30)=0; V(k_1,3=40)=0; V(k_1,4=50)=0; V(k_2,3,4=90)=1;

V(k_1,2,3=60)=1; V(k_1,2,4=70)=1; V(k_1,3,4=80)=1; V(k_1,2,3,4=100)=1;

Теперь можно убедиться, что вектор Шепли имеет вид 

Интересно заметить, что выигрыши второго и третьего игроков одинаковы, хотя третий игрок имеет больше акций. Это получается вследствие того, что возможности образования коалиций у второго и третьего игроков одинаковы.

Задача 5. Рассматривается корпорация из четырех акционеров, имеющих акции соответственно в следующих размерах: а₁=10, а₂=30, а₃=30, а₄=40. Любое решение утверждается акционерами, имеющими в сумме большинство акций. Это решение считается выигрышем равным единице. Найти вектор Шепли для данной игры.

 Решение. Согласно условию задачи будет:

V(k₁=a₁)=V(k₂=a₂)=V(k₃=а₃)=V(k₄=а₄)=0;

V(k_1,2=40)=0; V(k_1,3=40)=0; V(k_1,4=50)=0; V(k_2,3=60)=1;

V(k_2,4=70)=1;V(k_3,4=70)=1; V(k_1,2,3=70)=1; V(k_1,2,4=80)=1;

 V(k_2,3,4=100)=1; V(k_1,3,4=80)=1; V(k_1,2,3,4=110)=1;

Теперь можно убедиться, что вектор Шепли имеет вид .Его координаты означают, что первый игрок ничего не выигрывает и, значит, его акции бесполезны, а игрок четвертый- выигрывает столько же, сколько второй и сколько третий. Таким образом, его избыточные акции не дают ему преимущества.